3.9 Transformada de una Integral

Sea ∫ una función definida en [0,∞). La transformada de Laplace £ [∫] o ∫ (t) es la transformada integral

Es similar a la idea que llevo a la aparición de los logaritmos. O sea, convertir una operación\complicada" en otra mas \sencilla" para luego, al invertir dicha operación obtener el resultado. Es fácil comprobar que multiplicar dos números cualesquiera es mucho mas complicado que sumarlos, de ahí la utilidad e importancia que tuvieron las primeras tablas de logaritmos.

Un funcional no es mas que una función definida sobre el espacio de funciones donde la integral se entiende en el sentido impropio

3.8 Transformada de la Derivada

La siguiente propiedad nos permite aplicar la TL a la solución de una ED.

Si  ∫(t) es una función con derivada ∫’(t) entonces:

Hemos integrado por partes con

En donde el primer límite (R →∞) se anula, y hemos denotado al segundo (t →0+ ) por ∫(0+) ya que puede ser que ∫ no esté definida en t = 0, en cuyo caso se debe calcular su límite cuando t→ 0 por la derecha; siempre que no haya confusión escribiremos ∫(0) en lugar de ∫(0+)

Es decir

Utilizando la fórmula de nuevo, vemos que, si f y sus derivadas tienen TL, se puede calcular:

Es decir:

Así también:

Entonces:

Siguiendo este razonamiento, obtenemos en general:

3.7 Tranformada de Funciones Significativas

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tⁿ, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integro diferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes

3.6 Propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad de la Transformada de Laplace

Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.

· Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ").

 Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él.

Teorema (Linealidad de la T L) Sean f (t) y g (t) dos funciones cuyas T L existen y son, respectivamente,

F (s) y G (s). Sea k una constante.

Entonces se cumple

1. L{f + g} (s) = L{f} (s) + L{g} (s)

2. L{kf} (s) = kL{f} (s)

o en forma equivalente

L {kf + g} (s) = kL{f} (s) + L {g} (s)

Ejemplo . L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t} =

= 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___

s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4

= 4_ + 36 - _12 + __2s__

s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4

donde s > 5.

3.5 Función Escalón Unitario

La función escalón unitario también se puede usar para expresar funciones definidas por tramos en forma compacta ;por ejemplo la función

3.4 Tranformada de Laplace de Funciones Definidas por Tramos

3.3 Tranformada de Laplace de Funciones Básicas