3.6 Propiedades de la Transformada de Laplace

Linealidad de la Transformada de Laplace

Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.

· Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ").

 Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él.

Teorema (Linealidad de la T L) Sean f (t) y g (t) dos funciones cuyas T L existen y son, respectivamente,

F (s) y G (s). Sea k una constante.

Entonces se cumple

1. L{f + g} (s) = L{f} (s) + L{g} (s)

2. L{kf} (s) = kL{f} (s)

o en forma equivalente

L {kf + g} (s) = kL{f} (s) + L {g} (s)

Ejemplo . L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t} =

= 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___

s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4

= 4_ + 36 - _12 + __2s__

s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4

donde s > 5.